巴菲特有句名言，大意是：复利是第八大奇迹。结合股神的投资理念，这句话意思大概可解释为，做时间的朋友，享受价值投资带来的超额收益。

复利的概念其实简单，可用以下公式表示。

$$ F_l = P(1+i_l)^n \tag{1} $$

$F_l$代表最终收益；$P$代表期初的投入；$i_l$代表年平均收益率（这里假定每年收益率相同）；$n$代表投资时间，一般按年数，也可月数等其他计息周期。

从式1可知，具有复利效应的投资的最终收益，取决于3个要素：期初投入，年平均收益率，年份。

而与复利效应对应的，就是短期一次性获利。可用式2来说明。

$$ F_s = P(1+i_s) \tag{2} $$

$F_s$代表最终收益；$P$代表期初的投入；$i_s$代表短期一次性收益率。

短期投资一般指一个会计周期以内的投资，一般就是一年以内，可见短期一次性获利是没有时间加持的。

那么问题来了，同样数量的资源/资产，我们是选择投入进短期获利的活动中，还是选择投入进长时间运行后再获利的活动中？

当然是哪个获利多投哪个。即$F_l \geq F_s$时，选择长期投资，反之则选择短期。

但是，像货币这种资产，是具有时间成本的。因为长期看物价是在上涨的，对普通老百姓影响最大的物价指数CPI最近几年增长都在3%以上，所以可能今年用10块钱买杯奶茶，明年就得花10.3元，相当于钱变多了但能买到的东西还是一样。

因此，选择短期一次性获利，还是长时间的复利，不能单纯对比最终获利大小，还要考虑投入的资源或资产的时间成本。

不考虑资产的时间成本

不考虑资产的时间成本，简单来说，就是资产不收通货膨胀影响，物价不会每年上涨。说实在这种资产可能不存在，变通下，像文章阅读量，粉丝数，点赞数等近似算是。

既然不考虑资产的时间成本，简单地从$F_l \geq F_s$，合并式1、式2，可得到下式3。

$$ i_s \leq (1+i_l)^n - 1 \tag{3} $$

可看出，当长期投资周期n一定，长期投资年平均收益率$i_l$和短期一次性收益率$i_s$满足式3关系时，长期投资收益要大于等于短期投资。

考虑资产的时间成本

对于普通人，投资主要就是用钱投资，需要考虑钱的时间成本，因为通货膨胀，物价是一直上涨的。最近几年CPI平均年增长率超过3%了，如果工资增长率和资产升值率小于3%，相当于每年在变穷。

这里用实际能买到的物品数量，来比较长期投资和短期投资收益。假设物价每年上涨率相同，则某个物品某年的价格可用下式4表示。

$$ a_n = a_0(1+g)^n \tag{4} $$

$a_0$代表期初的物价；$a_n$代表之后第n年的物价；$g$代表物价的年上涨率；$n$代表时间，一般按年数，也可月数等其他计息周期。

则投资n年后所获的收益可以买到的物品数量为：

$$ Q_l = \frac{F_l}{a_n} \tag{5} $$

短期投资所获的收益在第1年年末可以买到的物品数量为：

$$ Q_s = \frac{F_s}{a_1} \tag{6} $$

如果长期投资获利更多，则有以下关系：

$$ Q_l \geq Q_s \tag{7} $$

将式4、5、6带入式7中，得到式8。

$$ i_s \leq \frac{(1+i_l)^n}{(1+g)^{n-1}} - 1 \tag{8} $$

当$i_l$、$i_s$、$g$、$n$满足式8时，长期投资收益要大于等于短期投资。

绘图表示 $i_l$ 、 $i_s$ 简化关系

给$g$取值近几年CPI平均增幅3%，$i_l$取值大于等于3%（如果小于物价增幅，投资没意义），投资周期$n$取值2~7年，对式3、式8的等号右边进行绘图，会得到一条曲线，如果$i_s$值落在曲线下方区域，则满足式3或式8关系，说明长期投资收益要大于等于短期投资。反之，则短期投资更划算。

1
2
3
4
5
6
7

import seaborn as sns
import pandas as pd
%matplotlib inline

sns.set(context='notebook', style='ticks', font='SimHei')
datas = pd.read_csv('复利有无对比.csv')
g = sns.relplot(kind='line', x='il', y='y', hue='tag', col='n', col_wrap=2, col_order=[2, 3, 4, 5, 6, 7], data=datas)

从上图可看出：

  • 对于同样的长期年平均投资收益率，不计通货膨胀的总收益率总是要大于计通货膨胀的，原因就是物价上涨抵消了一部分收益。
  • 投资周期越长，通货膨胀对实际收益影响越大。当投资周期在2~3年，两条曲线十分接近。
  • 投资周期越长，收益越好，要打败长期投资，那么短期投资收益率就要越大。
  • 基本上投资都要考虑时间成本，所以选用蓝色线。用预计的短期一次性收益率$i_s$和长期年平均收益率$i_l$做对比，如果$i_s$值落在蓝线下方区域，则说明所在投资周期下长期投资收益要大于短期投资。